Производная и дифференциал лекции и примеры

Алгоритмы маршрутизации
Мультикомпьютеры
Выбор топологии вычислительной системы
Сбои в персональных компьютерах
Запись на диски и в файлы
Процессы и ресурсы
Балансировка вычислительной
нагрузки процессоров
Математическая статистика
Предел функции Интегрирование
Решение интегралов
Вычисление двойных и тройных интегралов
Курсовая на вычисление интеграла
Формула Тейлора для ФНП
Производная сложной ФНП
Интегрирование функций нескольких переменных
Геометрические свойства интеграла ФНП
Типовые задачи
Вычислить интеграл
Вычислить момент инерции
Вычислить повторный интеграл
Решения задачи Коши
Метод Эйлера
Оформление сборочного чертежа
Изображения
Способы преобразования чертежа
 Нанесение размеров
Аксонометрические проекции
Резьбы, резьбовые изделия
Разъемные соединения
Неразъемные соединения
Шероховатость поверхности
Сборочный чертеж
Деталирование чертежей
Решение задач по физике примеры
Электротехника
Оптика
Билеты к экзамену по физике
Теория электромагнитного поля
Элементы электрических цепей
Промышленная электроника
Цифровая электроника
Теоретические основы электротехники
Сопротивление материалов
Метод сечений
Перемещения и деформации
Общие принципы расчета конструкции
Моменты инерции сечения
Кручение бруса
Определение опорных реакций
Момент сопротивления
Метод начальных параметров
Косой изгиб
Внецентренное растяжение и сжатие
Теории прочности
Метод сил
Расчет на усталостную прочность
Задача Эйлера
Формула Ясинского
Определение прогиба и напряжений
Запас усталостной прочности
Основы теории упругости
Основы теории пластичности
Рождение абстрактного искусства
Художники эпохи Просвещения
Теоретическая механика

Определение производной функции Если для некоторого значения x0 существуют пределы , или , или , то говорят, что при x=x0 существует бесконечная производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака, равная +¥ или –¥.

Вычисление производной от функции называется дифференцированием. Примеры. Вычислить производную функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную. Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.

Физический смысл производной и дифференциала

Правила вычисления производных Пример. Вычислить производную функций .

Производная обратной функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций .

Производная и дифференциал сложной функции Условие существования производной сложной функции Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной)

Гиперболические функции и их производные Функции   называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Определение производных высших порядков Производные высших порядков суммы и произведения функций

Производные высших порядков от сложных функций

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций. Дифференциалы высших порядков

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение

Теорема Ролля теорема Лагранжа Геометрический смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел . Неопределённости вида

Вывод формулы Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Исследование поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Отыскание наибольших и наименьших значений функции Выпуклость и точки перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.

Общая схема построения графиков функции Асимптоты Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке

Математика , физика курсовая, информационные системы. Машиностроительное черчение