Математический анализ лекции и примеры решения задач контрольной работы

Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество XÌ¡, называется его верхней гранью и обозначается sup X (от лат. supremum наибольший).

Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество XÌ¡, называется его нижней гранью и обозначается inf X (от лат. infimum наименьший).

Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Если во множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно является верхней (нижней) гранью этого множества. В частности, такая ситуация имеет место для конечных множеств: любое конечное множество чисел имеет наибольшее и наименьшее числа, а потому нижнюю и верхнюю грани.

Выясним теперь вопрос: всегда ли у числового множества существует его верхняя (нижняя) грань? Если множество ограничено сверху (снизу), то ответ дается следующей теоремой.

Теорема 2. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть X – ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент yÎY ограничивает сверху множество X, т. е. для любого элемента xÎX выполняется неравенство x£y. Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y, поэтому, в силу свойства V непрерывности действительных чисел, существует такое число b, что для любых xÎX и yÎY имеет место неравенство x£b£y.

Первая часть этого неравенства означает, что b является числом, ограничивающим множество X сверху, а вторая часть означает, что из всех таких чисел b является наименьшим числом. Тем самым установлено, что b = sup X.

Доказательство для нижней грани проводится по аналогии. □*

Теорема о существовании верхних и нижних граней принадлежит к так называемым чистым теоремам существования: в ней доказывается, что при определённых условиях у множества существует верхняя (нижняя) грань. Однако из рассуждений, проведённых при доказательстве этой теоремы, не следует способ нахождения этих граней в конкретном случае. В действительности задача нахождения верхней (нижней) грани множества, заданного какими-либо своими свойствами, может оказаться очень трудной задачей.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то, как уже отмечалось, никакое число не может являться его верхней (нижней) гранью, так как вообще нет чисел, которые его ограничивают сверху (снизу). Для удобства вводится следующее определение.

Верхней гранью неограниченного сверху числового множества называется +¥, а нижней гранью неограниченного снизу числового множества называется –¥.

Удобство этого определения состоит в том, что теперь каждое непустое числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань, принадлежащую расширенному множеству действительных чисел.


На главную