Математический анализ лекции и примеры решения задач контрольной работы

Свойство пределов последовательностей

Леммы о бесконечно малых величинах

Лемма 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

Лемма 2. Произведение ограниченной последовательности xn на бесконечно малую an величину есть бесконечно малая величина.

Доказательство этих лемм предоставляем читателям.

Арифметические действия над последовательностями

Теорема 4. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

  ,

где an, bn – бесконечно малые. Тогда

 .

Здесь   есть бесконечно малая по лемме 1; следовательно, можно
утверждать, что последовательность  имеет предел, равный . □

Эта теорема и её доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.


На главную