Математический анализ лекции и примеры решения задач контрольной работы

Наибольший и наименьший пределы

Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn и обозначаются соответственно через

 .

Теорема 11. Наибольший и наименьший пределы последовательности всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное, для существования предела последовательности.

Пример. Пусть pn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +¥, и qn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к –¥. Доказать, что

 .

Решение. Рассмотрим предел

 .

Пусть nk – произвольная подпоследовательность натуральных чисел, стремящаяся к +¥. Тогда, по теореме 11, имеем

 .

Пусть теперь pk – произвольная числовая последовательность, pk > 1, стремящаяся к +¥. Тогда существует такая последовательность натуральных чисел nk, что nk £ pk < nk+1 и nk ® +¥. Так как левая и правая части неравенства

 

стремятся к e, то

 .

Если произвольная последовательность чисел qk, –qk>1, стремится к –¥, то, полагая qk=–pk, получаем

 . □


На главную