Математический анализ лекции и примеры решения задач контрольной работы

Свойство непрерывности.

Каковы бы ни были непустые множества .

Замечание. Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения. Если в результате экспериментального измерения данной величины получается ряд чисел, дающих значение искомой величины с недостатком (они играют роль множества A в приведённой выше формулировке свойства непрерывности) и с избытком (множество B), то свойство непрерывности действительных чисел выражает объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определённое значение, расположенное между её приближёнными значениями, вычисленными с недостатком и избытком.

Сформулированные выше свойства можно использовать для исходного
определения действительных чисел. Следует только исключить тривиальный случай: легко проверить, что для множества, состоящего только из одного нуля, выполняются все свойства I–V (в таком множестве 0=1). Множество, в котором имеется хоть один элемент, отличный от нуля, будем здесь для краткости называть нетривиальным.

Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами I–V, называется множеством действительных чисел. Каждый элемент этого множества называется действительным числом.

Построение теории действительных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства I–V – аксиомами действительных чисел.

Пример. Показать, что число, обладающее свойством нуля, единственно.

Из свойств I, II и III могут быть выведены и другие свойства сложения и умножения. Мы на этом останавливаться не будем.

Замечание. Отметим, что свойства I–III не описывают полностью действительные числа, так как существуют другие множества, элементы которых удовлетворяют этим свойствам. Например, рациональные числа или комплексные числа, а также совокупность рациональных функций, т. е. функций вида , где  и  – многочлены.

Элементы всех перечисленных множеств можно складывать и умножать, причём эти операции будут подчиняться условиям I, II и III. Множества, удовлетворяющие этим требованиям и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями.

При этом, в отличие от поля действительных чисел, поле рациональных чисел не обладает свойством непрерывности, а поле комплексных чисел – свойством упорядоченности.


На главную