Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение уравнений

Решение дифференциальных уравнений: линейные однородные и неоднородные уравнения и их системы, уравнение Эйлера, уравнения с разделяющимися переменными, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, уравнение Бернулли, уравнение Риккати, уравнение Лагранжа, уравнение Клеро, дифференциальные уравнения допускающие понижение порядка, уравнения в частных производных.

Метод наименьших квадратов

Постановка задачи и ее качественный анализ.

Одной из самых распространенных задач вычислительной математики является задача статистической обработки данных, и, в частности, составление эмпирических формул для нахождения зависимости одной величины от другой, когда известна таблица их значений, полученных в результате некоторой серии экспериментов.

Общей ЗАДАЧЕЙ здесь является нахождение функции определенного вида, которая наилучшим образом отражает зависимость между величинами. Важнейшее отличие постановки данной задачи от задачи интерполирования состоит в том, что не требуется обязательное совпадение данных, полученных в результате измерений со значениями искомой функции в выделенных точках.

Такая постановка задачи кажется нам более естественной, поскольку:

результаты измерений могут быть неточными,

выделенные точки (узлы), как правило, ничем не отличаются от всех остальных и непонятно, почему именно в них мы должны требовать точного совпадения данных.

Для того, чтобы сравнивать, какая же из функций лучше отражает данную зависимость, нам надо договориться, как мы будем измерять степень приближения искомой функцией данной нам зависимости. В качестве меры приближения обычно выбирают одну из следующих:

Максимальное по модулю отклонение искомой функции в узлах от данных значений.

Сумма модулей отклонений искомой функции в узлах от данных значений.

Сумма квадратов отклонений искомой функции в узлах от данных значений.

Первый из перечисленных случаев соответствует приближению искомой функцией в равномерной метрике, второй - в интегральной метрике, а последний - приближению в метрике пространства функций с интегрируемым квадратом. Как видно даже из названия лекции, нас будет больше всего интересовать последний случай, который является самым употребляемым на практике, а, кроме того, он проще остальных в смысле организации вычислений, в том числе и автоматизированной обработки данных.

Алгебраических уравнений

Основные понятия об алгебраическом уравнении

Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени

,  (1.3)

где коэффициенты – действительные числа, причем .

В общем случае будем считать, что  – комплексная переменная.

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-й степени (1.3) имеет ровно n корней, действительных и комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

При этом говорят, что корень  уравнения (1.3) имеет кратность s, если

, .

Комплексные корни уравнения (1.3) обладают свойством парной сопряженности.

Теорема 1.2. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.3) – действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если  (– действительные числа) есть корень уравнения (1.3), кратности s, то число  также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.

Дана таблица зависимости функции Y от аргумента X

Разберем пример 5.1 нахождения наилучшей линейной функции.Пусть зависимость задана таблицей.

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. При поиске функций другого вида (3-8) задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции.

Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.

Решение задач по линейной алгебре: операции с матрицами, решение систем методом Крамера, Гуасса, обратной матрицы, Жордано-Гаусса, нахождение собственных чисел, приведение матриц к диагональному виду, вычисление обратных матриц и определителей.
Математика решение уравнений