Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение уравнений

Решение дифференциальных уравнений: линейные однородные и неоднородные уравнения и их системы, уравнение Эйлера, уравнения с разделяющимися переменными, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, уравнение Бернулли, уравнение Риккати, уравнение Лагранжа, уравнение Клеро, дифференциальные уравнения допускающие понижение порядка, уравнения в частных производных.

Теорема 1. Если ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А|B), то в этом случае существует решение системы (7.1) и наоборот.

Теорема 2. В случае, когда количество уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель A отличен от 0, существует единственное решение системы(7.1).

m=n и det(А)<>0 => решение (7.1) существует и единственно.

Если n>m, то решений (7.1) обычно бесконечное множество (линейное пространство размерности n-rang(A)). Если m>n, то обычно решений нет.

Упражнение 7.1. Приведите пример несовместной системы, у которой m<n.

Упражнение 7.2. Приведите пример совместной системы, у которой m>n.

Далее мы ограничимся рассмотрением частного случая: m=n и det(А)<>0, т.е. случай, когда решение существует и единственно, хотя метод Гаусса, например, носит универсальный характер.

Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные. К точным (прямым) относятся методы, позволяющие за конечное число шагов получить точное решение системы, (т.е. те методы, погрешность которых равна 0). К итерационным относятся методы, при которых строится рекуррентная последовательность векторов, сходящихся к решению. Обычно они применяются, когда применение точных методов затруднено или невозможно, например когда порядок системы – тысячи переменных.

К прямым методам относятся, кроме метода Гаусса, метод квадратного корня для симметричных матриц (или компакт-метод для произвольных), метод Крамера. Последний метод обычно изучается в теории систем линейных уравнений в виду возможности кратко записать решение системы. Пусть D-определитель квадратной матрицы А системы линейных уравнений: D=det(A)¹0. Пусть D(i)-определитель матрицы, у которой на i-ом месте находится столбец В, а остальные столбцы совпадают с соответствующими столбцами матрицы А. Тогда координаты вектора решения находятся по формулам: Х(i)=D(i)/D.

Упражнение 7.3. Определите по формулам Крамера решение системы и проверьте его:

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

Методом Лобачевского–Греффе решить уравнение:

.  (2.4)

Для начала с помощью теоремы Штурма определим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.2).

Для данного уравнения система Штурма имеет вид

Откуда получаем

Таблица 2.3.

Многочлен

Точки на действительной оси

+

+

+

+

+

+

Число перемен знаков

3

1

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.2) равно

,

т.е. уравнение (2.2) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для приближенного нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов произведем по формулам (2.2) и (2.3) .

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4.

i

0

1

2

3

4

0

-9.2000000E+00

-3.3300000E+01

1.3800000E+02

0

1

1.6900000E+00

-1.2140000E+01

1.3825000E+02

2.2500000E+02

0

2.4280000E+01

-1.7285000E+01

5.4630000E+03

0

1

2.7136100E+01

1.3009460E+02

2.4576062E+04

5.0625000E+04

0

-2.6018920E+02

-1.2325470E+06

-1.3172078E+07

0

1

4.7617872E+02

-1.2156224E+06

5.9081077E+08

2.5628906E+09

0

2.4312447E+06

-5.5753725E+11

6.2310144E+15

0

1

2.6579909E+06

9.2020050E+11

3.5528838E+17

6.5684084E+18

0

-1.8404010E+12

-1.8886934E+24

-1.2088505E+31

0

1

5.2245148E+12

-1.0419245E+24

1.2621774E+35

4.3143988E+37

0

2.0838490E+24

-1.3188529E+48

8.9905555E+61

0

1

2.9379403E+25

-2.3324632E+47

1.5930919E+70

1.8614037E+75

0

4.6649263E+47

-9.3608180E+95

8.6833113+122

0

1

8.6361583E+50

-8.8167795E+95

2.5379418+140

3.4648238+150

Как видно из таблицы 2.4 на 7-м шаге корни ,  (считая в порядке убывания модулей) можно считать отделенными. Модули корней находим по формуле (1.27) и грубой прикидкой определяем их знак:

Так как преобразованный коэффициент при  меняет знак, то данное уравнение имеет комплексные корни, которые определяются из уравнения (1.31) с использованием формул (1.29) и (1.30):

i.

Относительная погрешность корней, вычисленная по формуле (1.28) равна

,

.

Прямой ход.Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса/

Ручные вычисления по методу Гаусса. В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений.

Регуляризация решения При решении систем методом Гаусса желательно предусмотретьна каждом шаге перестановку уравнений

Описание метода Гаусса для вырожденных систем. Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем.

Решение задач по линейной алгебре: операции с матрицами, решение систем методом Крамера, Гуасса, обратной матрицы, Жордано-Гаусса, нахождение собственных чисел, приведение матриц к диагональному виду, вычисление обратных матриц и определителей.
Математика решение уравнений