Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение матриц

Решение задач по статистике (математической и экономической): выборочное среднее, выборочная дисперсия, оценки правдоподобия, доверительные интервалы, корреляция, метод наименьших квадратов. Экономико-математическое моделирование: графический метод решения задач линейного программирования, симплекс метод, транспортные задачи, модели Леонтьева.

Нахождение ранга матрицы.

При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса. Матрицу приводят описанным выше способом к ступенчатому виду, а затем просто подсчитывают количество ненулевых строк.

Определение совместности системы.

Поскольку совместность системы означает совпадение рангов матрицы А исходной системы и расширенной матрицы (А|B), то проще всего поступить аналогично предыдущему пункту. Берем расширенную матрицу и приводим к ступенчатому виду. Если есть строки с нулевой левой частью и ненулевым свободным членом, то система несовместна, если нет – совместна.

Контрольные вопросы

Какова общая постановка задачи решения систем линейных уравнений?

Какие виды рангов определяются для матриц? Почему они равны? Что такое ранг матрицы?

Сформулируйте условие существования решения и условие единственности решения.

Что такое эквивалентное преобразование системы? Какие они бывают?

Почему при добавлении к строке линейной комбинации других строк решение не меняется?

Докажите, что при ручных вычислениях контрольный столбец должен совпадать со столбцом s

С чем связана необходимость переставлять местами уравнения системы при решении?

Как устроено множество решений общей системы линейных уравнений?

Как определить базис пространства решений системы, зная номера свободных переменных?

Перечислите применения метода Гаусса при решении задач линейной флгебры.

Содержание лабораторной работы «Метод Гаусса»

1.Ответить на вопросы контролирующей программы.

2. Составить программу решения систем методом Гаусса, протестировать ее на контрольных примерах. Выполнить программу для своего варианта и записать ответы.

3. Переписать в отчет название и цель работы, постановку задачи, текст программы и ответы.

Содержание лабораторной работы «Применения метода Гаусса»

1. Составить, отладить и протестировать программу для решения одной из следующих задач:

найти определитель матрицы;

найти обратную матрицу;

найти ранг матрицы;

определить совместность системы;

решение системы при ручном счете;

решение общих систем методом Гаусса.

2. Переписать в отчет название и цель работы, постановку задачи, текст программы и ответы.

Алгоритм решения уравнения комбинированным методом

Вычислить значения функции  и .

Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .

Найти производные  и .

Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .

Для метода касательных выбирается за  тот из концов отрезка , в котором выполняется условие , т.е.  и  одного знака.

Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

Вычисляется первое приближение корня: .

Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:

 и .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором  и  совпадут с точностью .

Метод квадратного корня Условие применимости метода квадратного корня.

Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А).

Общие формулы для нахождения элементов матрицы S имеют вид:, где i=1,2...n.

Компакт-метод. Как уже отмечалось, метод квадратного корня применим только для систем с симметричной матрицей A.

Метод простых итераций Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений.

Описание метода простых итераций. Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1). Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х.

Случай диагонального преобладания. Если в исходной системе все элементы, стоящие на главной диагонали, по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов в этой же строке (столбце) матрицы А, то для приведения к нужному виду в левой части оставляют только диагональные элементы, а остальные переносят в правую часть и каждое уравнение делят на диагональные элементы.

Какова скорость сходимости последовательности векторов к решению?

Численные методы решения экстремальных задач Постановка задачи.

Метод равномерного поиска. Этот метод основан на том, что переменной  присваиваются значения  c шагом h =const (шагом поиска), где i=0,1,2,… и вычисляются значения  в соседних точкаx. Если , то переменной дается новое приращение.

Математическая логика: таблицы истинности, предикаты, упрощение логических выражений, решение текстовых задач. Дискретная математика: теория множеств, теория графов, теория игр, теория кодирования. Теория функций комплексного переменного: комплексные числа, аналитичность функций, интегралы, вычеты.
Математика решение уравнений