Метод половинного деления Метод прямоугольников Метод наименьших квадратов Методы решения систем линейных уравнений Нахождение ранга матрицы Линейное программирование Математическая статистика

Математика решение матриц

Численные методы и их реализация в среде систем компью-терной математики, к которым в первую очередь следует отнести MathCAD, Maple, MATLAB, Mathematica и некоторые другие, не только расширяют класс реально решаемых дифференциальных уравнений, но и существенно упрощают сам процесс их решения.

Линейное программирование

Постановка задачи. Графический метод

Рассмотрим сначала несколько задач, которые привели к развитию целой отрасли математики – линейного программирования. Разумеется, в реальных задачах количество неизвестных и ограничений гораздо больше, но для понимания сути задачи и методов ее решения нам будет достаточно рассмотреть модельные ситуации с небольшим количеством неизвестных.

Пример 1 (транспортная задача)

На две товарные станции привезли по 30 комплектов мебели. Мебель необходимо развести по трем магазинам (по 20 комплектов в каждый). Известна стоимость перевозок с каждой станции в каждый магазин:

 

Магазин 1

Магазин 2

Магазин 3

Станция 1

7

5

8

Станция 2

3

9

6

Требуется составить оптимальный (с наименьшими затратами) план перевозок.

Математическая постановка задачи:

Пусть х1, х2,...,х6- количество комплектов, которые надо перевезти со станций в магазины. Учитывая ограничения, получим для xi³0 систему:

Получили систему из четырех уравнений с шестью неизвестными, у которой бесконечно много решений. Среди них надо выбрать такое, на котором целевая функция: f=7х1 + 3х2 + 5х3 + 9х4 + 8х5 + 6х6 достигает минимума.

Пример 2 (расчет рациона)

Имеются две питательные смеси, про которые известно, сколько белков, жиров и углеводов содержит одна единица каждой из них:

 

Жиры

Белки

Углеводы

Цена

1-я смесь

22

15

7

7

2-я смесь

16

11

9

6

Каждая корова должна получать не меньше 200 единиц жиров, 130 единиц белков и 75 единиц углеводов. Требуется подешевле накормить коров с учетом этих данных.

Математическая постановка задачи:

Пусть надо дать корове 1-ой смеси х1 единиц, 2-ой смеси- х2 единиц. Тогда

Среди решений данной системы надо выбрать такое, на котором достигается минимум целевой функции f=7x1+6x2.

Пример 3 (распределение ресурсов) Предприятие производит два вида продукции из двух видов сырья, причем известны запасы обоих видов сырья, расход сырья на каждый вид продукции и доход с одной единицы каждой продукции:

Двойственная задача В матричном виде задача, двойственная к задаче линейного программирования в общем виде, имеет вид: АtY ³ C, Y ³ 0, V=(b,y) -> max.

Сиплекс-метод Будем исследовать задачу линейного программирования в канонической форме:АХ = В, Х³ 0, f = (с, х) -> min.

Описание симплекс-метода. Выразим целевую функцию через свободные переменные и допишем к задаче:f = a0 -ar+1хr+1 - ... -anхn.

Алгоритм симплекс-метода: 1. Заполняем исходную таблицу (считается, что исходный базис найден).

этом случае можно говорить об интегрируемости ОДУ в явном виде, когда решение может быть получено с помощью конечного числа элементарных операций, к которым относят вычисления на ЭВМ. Решение можно представить в виде графика, в том числе трехмерного, или анимационного клипа, соответствующего изменению параметров задачи в интерактивном режиме.
Математика решение уравнений