Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Определение опорных реакций Момент сопротивления Метод начальных параметров Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Теории прочности Суть метод Мора уравнение совместности деформаций

Сопромат Теории прочности Основы теории упругости и пластичности

Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) — это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия — это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров

 Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, касательной к изогнутой оси балки (рис.5.23).

Рис.5.23

 Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (ymax/l=10-2-10-3, где ymax-максимальный прогиб; l-пролет балки).

 В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и j(z)= =a(z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z-функцию перемещений y(z) и функцию углов поворота j(z). Из геометрических построений (рис.5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

. (5.17)

 Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y(z) выражается следующей формулой:

.

 Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины  по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (5.18)

 Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное дифференциальное соотношение

, (5.19)

где Ix-момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е-модуль упругости материала; EIx-изгибная жесткость балки.

 Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент Mx(z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

 Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

 В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y(z) и углов поворота j(z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.

 Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций.
Сопромат Метод сил