Курсовая на вычисление интеграла Формула Тейлора для ФНП Производная сложной ФНП Интегрирование функций нескольких переменных Геометрические свойства интеграла ФНП Типовые задачи Вычислить интеграл Вычислить момент инерции

Математика примеры решения задач типового расчета

Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Решение. Спроектируем  на плоскость , получим  и .

Поэтому

.

Замена переменных в тройном интеграла может быть проведена по правилу:

пусть функции , ,  реализуют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области  пространства  на замкнутую область  пространства .
Тогда (см. [1, 6]) справедлива формула

,

где   – якобиан преобразования.

В цилиндрической системе координат  
(,  – полярные координаты), , , ,
и поэтому

.

ПРИМЕР 2. Записать тройной интеграл от функции  на
области , ограниченной поверхностями  и .

Решение. Поверхности – парабалоиды вращения, пересекаются по окружности   Проводить счет удобно в цилиндрической системе координат

.

В сферической системе координат   – длина радиуса вектора точки , ;
  – угол между положительной полуосью   и радиусом–вектором точки , ;  – полярный угол .

Якобиан перехода равен , и поэтому для вычисления тройного интеграла в сферической системе координат нужно задать область интегрирования  в пространстве сферических координат, записать подынтегральную функцию через переменные ,  и , умножить ее на  и провести вычисление повторного интеграла.

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов I рода Вычислить интеграл , если  , , .

Длина дуги в декартовых координатах Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Механические приложения Вычислить массу дуги   

Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы