Курсовая на вычисление интеграла Формула Тейлора для ФНП Производная сложной ФНП Интегрирование функций нескольких переменных Геометрические свойства интеграла ФНП Типовые задачи Вычислить интеграл Вычислить момент инерции

Математика примеры решения задач типового расчета

Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

Типовые задачи

Вычислить момент инерции относительно плоскости  дуги  , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению
ординаты и апликаты, а при   равно 1.

Решение. Момент инерции , где  или на дуге , причем

, т.е. .

Итак, . Поэтому

.

Вычисление двойных интегралов базируется на понятии повторного интеграла.

Пусть  рассматривается на плоской области  и она правильная в направлении оси , т.е. всякая прямая, параллельная оси , пересекает границу области  не более чем в двух точках. Тогда область   удобно спроектировать на ось . Пусть проекция  на  есть .

Если   – уравнение нижней границы, а   – уравнение верхней границы, то любому  области  принадлежат те точки  вертикального отрезка, которые удовлетворяют
неравенствам

 (*)

Выражение вида  называется повторным
интегралом от функции   по области . Он вычисляется
следующим образом:

сначала находится внутренний интеграл ( – переменная интегрирования,  – фиксированная), а затем полученную функцию аргумента  интегрируем на .

Значение повторного интеграла – число.

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

,  (37)

где  и  - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число  и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m = max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в виде , где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию yчн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов Rm(x) и Sm(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции yчн(x).

Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы