Курсовая на вычисление интеграла Геометрические свойства интеграла ФНП Типовые задачи Вычислить интеграл Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл Решения задачи Коши Метод Эйлера Вычислить повторный интеграл


Математика примеры решения задач курсового расчета

Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

,  (8)

где ,  – функциональная матрица,  – функциональный вектор, , называется системой неоднородных линейных дифференциальных уравнений (сокр. СНЛДУ).

Естественно предполагать, что все функции, входящие в СДУ, непрерывны на некотором общем интервале, . Тогда по теореме существования единственного решения задачи Коши  для  и  – произвольного -мерного постоянного вектора, , найдется окрестность , на которой СДУ (8) имеет единственное решение, соответствующее задаче Коши. Доказано, что  может быть любым из  и решение продолжаемо на весь интервал непрерывности всех функций  и . Поэтому впредь СНЛДУ будем рассматривать для .

При  СНЛДУ превращается в систему однородных
линейных дифференциальных уравнений (сокр. СОЛДУ) вида

.

Если матрица  состоит из чисел, то СДУ соответственно
имеют постоянные коэффициенты и называются

  – СНЛДУ п/к;

 – СОЛДУ п/к.

Заметим, что для СОЛДУ п/к  интервал существования решений есть вся числовая ось, .

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y1(x), y2(x), …, yn(x).

 Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x), система функций y(x), y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:

  Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна  y1(x) = cos x, y2(x)= x3. Решение:

Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений:  Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором .

Решить  СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла. Понятие о тройном интеграле. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства).
Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы