Курсовая на вычисление интеграла Геометрические свойства интеграла ФНП Типовые задачи Вычислить интеграл Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл Решения задачи Коши Метод Эйлера Вычислить повторный интеграл


Математика примеры решения задач курсового расчета

Поле направлений дифференциального уравнения. Изоклины. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка (способ Эйлера). Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно-независимые решения. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения.

Метод Эйлера

Аналогично однородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами для СОЛДУ , где
  – const, можно попытаться найти решение в виде , где
 – постоянный вектор,  – постоянное число. Подставляя эту вектор-функцию в СОЛДУ, получаем  или , т.е.  должно быть собственным значением (сокр. с.з.), а   – соответствующим ему собственным вектором (сокр. с.в.) матрицы .

ПРИМЕР 11. Решить СОЛДУ .

Решение. Для матрицы  собственные значения – корни характеристического уравнения

.

Для  с.в. матрицы – вектор  – находим, решая систему линейных алгебраических уравнений

. Придавая некоторое произвольное значение одной переменной, найдем значение другой: например, . Итак,  – решение рассматриваемой СОЛДУ.

Для  аналогично получаем , например, и соответственно  – решение СОЛДУ. Количество решений точно равно порядку СДУ, они линейно независимы, поскольку определитель, составленный из этих решений, не обращается в ноль, поэтому общее решение СОЛДУ имеет вид .

Для получения ФСР СОЛДУ -го порядка нужно знать точно "" линейно независимых решений; в нашем случае количество решений СОЛДУ п/к определяется количеством и структурой корней характеристического уравнения

.  (15)

Возможны следующие ситуации.

1. Корни уравнения (15) действительные и попарно различные . Находим  решений , , . Определитель Вронского для этих решений , причем

, поскольку собственные векторы для различных попарно собственных значений матрицы линейно независимы. Итак, общее решение СОЛДУ п/к  в рассматриваемом случае запишем

,

где фундаментальная матрица строится из столбцов .

Свойства решений СОЛДУ Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые. Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

 

Решить СОЛДУ . Решить СОЛДУ  .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема наложения. Метод вариации произвольных постоянных. Частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами для правых частей в виде функций: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы