Решение задач типового расчета по математике

Приложение последовательностей в экономике.

На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой.

Различают два вида процентных ставок – простые и сложные. Начисления при ставке простого процента предполагает применение ставки только к первоначальной сумме на протяжении всего срока долга. Пусть Sn - наращенная сумма долга через n периодов после предоставления ссуды в размере P денежных единиц, а простая ставка процента за период равна i процентов. Тогда в каждом периоде процентные начисления постоянны и равны (iP)/100. Найдем наращенную сумму долга в каждом из периодов
Вычисление длины дуги кривой Математика решение задач

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути

Интегрирования

Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:

Движение по контуру L - в положительном направлении.

С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

 Пример 2 

 Вычислить интеграл

где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

РЕШЕНИЕ

В данном интеграле

Следовательно

По формуле (38) получим

где D - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах

Без применения формулы Грина данный интеграл вычислить невозможно, так как невыполнимо интегрирование функций

С помощью формулы Грина доказывается, что криволинейный интеграл

не зависит от пути интегрирования MN, а зависит лишь от положения точек М и N, если во всех точках односвязной области D соблюдается равенство

При этом условии интеграл по любому замкнутому контуру LD равен нулю.

Область О называется односвязной, если ее граница состоит из одного не самопересекающегося контура L и внутри контура L нет точек, не принадлежащих области D.

Если выполняется равенство (39), выражение

является полным дифференциалом некоторой функции U=U(x,y)

Функцию U=U(x,y) называют потенциальной (первообразной) функцией для выражения

Р(х, y)dx + Q(x,y)dy

 Она может быть найдена по формуле

Где (x0,y0) - любая фиксированная точка области D; (х,у) - переменная точка; С -произвольная постоянная.

При выполнении условия (39) криволинейный интеграл равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования:

 

Предел функции.

Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число AО R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом limx ® af(x) = A, если

" e > 0 $ d(e)>0: " x: 0<|x-a|< d, Ю |f(x)-A|< e

Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора Математика решение задач