Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Вычисление двойных и тройных интегралов Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в декартовых координатах Тройной интеграл в сферических координатах Формула Грина. Поток векторного поля через поверхность

Решение задач типового расчета по математике

Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле
f(x) =
м 1, если xО Q
н
о 0, если xО R\ Q
, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q – множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Экстремумы ФНП

Локальные максимумы и минимумы ФНП

Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): .

Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x0, y0): .

Максимум  и минимум  называют локальными экстремумами ФНП.

Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.

Если (x0, y0) – это такая критическая точка, в которой  и , то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y).

Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области

Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.

По свойствам непрерывных функций, непрерывная ФНП z = f (x, y) в замкнутой ограниченной области DxOy достигает своих наибольшего и наименьшего значений zнаиб = М. и zнаим = m, называемых глобальными экстремумами ФНП в области D. Эти значения zнаиб. и zнаим. достигаются или в точках локальных экстремумов функции z = f (x, y) внутри области D или на границе этой области.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой ФНП в замкнутой ограниченной области D, нужно:

найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области D, и вычислить в них значения функции;

найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.

Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке.

Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке границы.

 

Свойства предела функции.

Теорема 1(свойства предела функции).

  1. Если $ limx ® af(x) = A , то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.
  2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то limx ® af(x) = A
  3. Если limx ® af(x) = A1 и limx ® af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.
Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора Математика решение задач