Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Вычисление двойных и тройных интегралов Приложения тройного интеграла Тройной интеграл в декартовых координатах Тройной интеграл в сферических координатах Формула Грина. Поток векторного поля через поверхность

Решение задач типового расчета по математике

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.
  3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Векторное поле

5.1. Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M(x, y, z) области VxOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примеры: силовое поле , поле скоростей  текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция   от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле  в двумерной области D: .

Пусть в области VxOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали  – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля  через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора  на орт нормали  к поверхности (рис. 6):

.

Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей  текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: , следовательно, орт нормали

 .

Для вычисления поверхностного интеграла  поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область DxOy. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

,  (16)

где знак «+» следует брать в случае, когда вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

 При вычислении двойного интеграла  нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.

Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают .

 

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<e.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( limx ® af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® Ґ(±Ґ).
Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора Математика решение задач