Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Предел функции Интегрирование Двойной интеграл Уравнения в полных дифференциалах. Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор)

Решение задач типового расчета по математике

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение D y ее представимо в виде
D y = f'(x)D x +a (D x) D x,
где первое слагаемое линейно относительно D x, а второе является в точке D x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем D x. Если f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения D y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента D x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

ЗАДАНИЕ 7. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

 Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Рис.75

 Данное тело является -цилиндрическим брусом (рис.72); боковая поверхность выродилась в линию пересечения заданных поверхностей. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную  (т.е. совершить ортогональное проектирование):

  и .

Таким образом, областью  () является круг с центром в точке (0; 1) радиуса =1  (см. рис.75).

 Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле . В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:

,

откуда видно, что его вычисление сопряжено со значительными трудностями (на завершающей стадии вычисления повторного интеграла).

 Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами

.

Якобиан  преобразования . Формула перехода (в интеграле) имеет вид

.

В нашем случае

.

Запишем уравнения параболоида и плоскости в цилиндрической системе координат:

.

Для окружности  имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до . Таким образом ,

 

===.

Ответ. =.

 2) Изобразим тело , ограниченное поверхностями цилиндра , параболоида  и плоскостью  (рис.76).

Рис.76


Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной: y(n) = (y(n-1))'. Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула
Двойной интеграл в полярных координатах Математика решение задач