Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Предел функции Интегрирование Двойной интеграл Уравнения в полных дифференциалах. Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор)

Решение задач типового расчета по математике

Производная параметрически и неявно заданных функций

Пусть x = f (t),y = y (t), tО [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, tО [0,2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x. В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = y'(t)dt, dx = f'(t)dt. Поэтому y'(x) = y'(t)/f'(t).Используя формулу для второго дифференциала, получим y(2)(x) = d(y'(x))/dx = (y '(t)/f '(t))'dt/f '(t)dt

Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.

Лекция I.

План

Матрицы. Терминология

Принцип равенства

Транспонирование матриц

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Матрицы. Терминология

Прямоугольная таблица действительных чисел

 (1.1)

называется действительной матрицей. Числа , образующие матрицу, называются её элементами. Здесь . Для обозначения матриц будем применять заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, ..., X, Y, Z, а для обозначения их элементов – греческие буквы  и т.д. с индексами  и . При этом первый слева индекс (индекс ) указывает номер строки, а второй индекс (индекс ) – на номер столбца матрицы, на пересечении которых расположен элемент . Наряду с обозначением (1.1) в литературе часто встречаются сокращенные обозначения

или просто . Эти обозначения мы также будем использовать в дальнейшем.

Введем специальные обозначения для строк и столбцов матрицы :

а множество всех действительных матриц с строками и столбцами будем обозначать через . Если , матрица называется прямоугольной матрицей порядка , а если  - квадратной матрицей порядка . Множество всех действительных квадратных матриц порядка обозначается . Матрица , имеющая только одну строку,

,

называется матрицей-строкой порядка .

Матрица , имеющая только один столбец,

,

называется матрицей-столбцом порядка . Матрицы-строки и матрицы-столбцы называются также арифметическими векторами. Множество всех арифметических векторов (матриц-столбцов) порядка  в дальнейшем будем обозначать через .

Элементы  матрицы  образуют её главную диагональ. Если все элементы матрицы , не стоящие на её главной диагонали, равны нулю,

,

матрица  называется диагональной. Квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю,

называется нижне-треугольной (верхне-треугольной) матрицей.

Понятие матрицы является одним из основных понятий курса алгебры. Элементами числовых матриц (целочисленных, рациональных, действительных, комплексных, булевых) являются числа (целые, рациональные, действительные, комплексные, булевы числа 0 и 1). В этом курсе мы будем иметь дело прежде всего с действительными матрицами. Тем не менее, обозначения  и т.д. имеют очевидный смысл. Наряду с числовыми матрицами в этом и других математических курсах встречаются более сложные типы матриц: полиномиальные, функциональные, блочные и т.д., то есть матрицы, элементами которых являются соответственно полиномы (многочлены), функции, блоки (матрицы одинакового порядка) и т.д. В связи с этим отметим, что все положения и свойства матриц, рассматриваемые в данном разделе, с надлежащими уточнениями справедливы и для других указанных выше типов матриц, характер же этих уточнений мы будем обсуждать всякий раз в соответствующем месте.


Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Справедлива Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) = 0. Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.
[an error occurred while processing this directive]