Математика Курс лекций по информатике Машиностроительное черчение Решение задач по физике Теоретические основы электротехники Сопротивление материалов История искусства Ядерные реакторы
Решение интегралов Алгебра матриц Площадь плоской криволинейной трапеции. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Двойной интеграл в полярных координатах

Решение задач типового расчета по математике

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула f(x)dx = f(f (t))f' (t)dt.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

Пример 12

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Решение

По формуле момента инерции получим:

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

Пример 13

Вычислить , где

Решение

Теорема 1 о переходе к сферическим координатам

Пусть - непрерывно дифференцируемые и пусть - непрерывная на функция. Тогда

 

Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.
Вычисление длины дуги кривой Математика решение задач