Математика решение задач

Алгоритмы маршрутизации
Мультикомпьютеры
Выбор топологии вычислительной системы
Сбои в персональных компьютерах
Запись на диски и в файлы
Процессы и ресурсы
Балансировка вычислительной
нагрузки процессоров
Математическая статистика
Предел функции Интегрирование
Решение интегралов
Вычисление двойных и тройных интегралов
Курсовая на вычисление интеграла
Формула Тейлора для ФНП
Производная сложной ФНП
Интегрирование функций нескольких переменных
Геометрические свойства интеграла ФНП
Типовые задачи
Вычислить интеграл
Вычислить момент инерции
Вычислить повторный интеграл
Решения задачи Коши
Метод Эйлера
Оформление сборочного чертежа
Изображения
Способы преобразования чертежа
 Нанесение размеров
Аксонометрические проекции
Резьбы, резьбовые изделия
Разъемные соединения
Неразъемные соединения
Шероховатость поверхности
Сборочный чертеж
Деталирование чертежей
Решение задач по физике примеры
Электротехника
Оптика
Билеты к экзамену по физике
Теория электромагнитного поля
Элементы электрических цепей
Промышленная электроника
Цифровая электроника
Теоретические основы электротехники
Сопротивление материалов
Метод сечений
Перемещения и деформации
Общие принципы расчета конструкции
Моменты инерции сечения
Кручение бруса
Определение опорных реакций
Момент сопротивления
Метод начальных параметров
Косой изгиб
Внецентренное растяжение и сжатие
Теории прочности
Метод сил
Расчет на усталостную прочность
Задача Эйлера
Формула Ясинского
Определение прогиба и напряжений
Запас усталостной прочности
Основы теории упругости
Основы теории пластичности
Рождение абстрактного искусства
Художники эпохи Просвещения
Теоретическая механика
  • Метод половинного деления (или метод вилки)хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа.
  • Построение многочлена Лагранжа. Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинаци
  • Метод прямоугольников. Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень.
  • Метод наименьших квадратов Постановка задачи и ее качественный анализ.Одной из самых распространенных задач вычислительной математики является задача статистической обработки данных, и, в частности, составление эмпирических формул для нахождения зависимости одной величины от другой, когда известна таблица их значений, полученных в результате некоторой серии экспериментов.
  • Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные
  • Нахождение ранга матрицы. При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса.
  • Градиентный метод Пусть функция  непрерывно дифференцируема на , а Î.
  • Линейное программирование Постановка задачи. Графический метод.
  • Элементы математической статистики Процесс познания окружающего нас мира включает наблюдение и эксперимент.
  • Предел функции Интегрирование

     Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это

    значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥.

      Предел функции f(x) в точке a: – это (говоря упрощенно) число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к а. Если функция непрерывна в точке а, это значит, что ее предел в этой точке равен ее значению: . Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел.

    Примеры.

    Даны матрицы:

    1. Какого размера матрица А? Перечислите ее элементы.

     Решение: В данной матрице 2 строки и 3 столбца, значит, это матрица размера 2´3. Дифференцируемость ФНП

    Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

    1. Найти координаты векторов  .

    Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):

    Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

    1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координа

    Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

    (АВ): .

    Приведем уравнение к общему виду:

    (АВ):  x-2y-1=0

    Предел последовательности

    Задания для подготовки к практическому занятию Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена.

    Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах: Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

    Дифференциал функции Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

    . Таким образом, . >

    Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

     

    Замена переменной; интегрирование по частям

    Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

    Интегрирование рациональных функций

    С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций.

    Интегрирование простейших иррациональных выражений

    Вычислить определенные интегралы:

    Двойной интеграл Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных). Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

    ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

    Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

    Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

     Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:

    Задание 1.

    1) Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

    2) Найти: а). ; б). ; в).

    Решение.

    1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

    Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

    Решение. Выделим действительную и мнимую часть функции : Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

    Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости . Решение. Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

     

    Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

    Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

    Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

    Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах: Решение. Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

     

    Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

    ЗАДАНИЕ  5. Изменить порядок интегрирования в интеграле Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы   и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном  x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является  -трапецией.

    Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

    Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат

    Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам.

     Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

    Найти массу пластинки  Очевидно, что область () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

    Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

    Вычислить криволинейный интеграл Рассматривается случай параметрического задания кривой  (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле: .

    РЕШЕНИЕ. Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

    Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую  надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая  задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра  с плоскостью , см. рис.81).

    Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

    Убедиться в потенциальности поля вектора

    В нашем случае x sin=0 произведение бесконечно малой на ограниченную поэтому arctg(x sin) ~ (x sin) Применяя полученные результаты, вычисляем предел

    Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной. Приведём и такое решение: ln y = ln2cosx· ln(sin x3); дифференцируем обе части равенства по переменной x:

    Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

    Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

    ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2). Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x  x0)4)  это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x  x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x  x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора

    Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

    Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

    Алгебра матриц В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным. После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

    Принцип равенства Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

    Сложение матриц

    Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера.

    Умножение матрицы на число

    Скалярное умножение арифметических векторов

     

    Умножение матриц Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ).

    Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

    Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки.

      Основные типы алгебраических структур

    Теория делимости квадратных матриц Справедливо и обратное утверждение.

     Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

     Если на множестве  определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

     перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

    Свойства элементарных преобразований. Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

    Эквивалентные матрицы Отношение эквивалентности

    Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида. Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой  имеет приведённый вид.

    Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц

    Отношение эквивалентности   Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

    Матричные уравнения

    Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

     Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, .

    Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

    Написать матрицу, транспонированную данным:

     Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

     Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы  позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

    Найти матрицу Введём обозначение для степени матрицы И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

    Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы . При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

    Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших Умножая полученное равенство справа на матрицу

    Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

    Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

    Первый интеграл является табличным: .

    Пример 4. Найти интеграл . Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: . Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

    Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

    Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

     

    Пример 8. Найти интеграл . Определенный интеграл

    Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

    Площадь плоской криволинейной трапеции. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

    Вычисление длины дуги кривой. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

    Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

    Связь сферических и декартовых координат: Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

    Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

    Чётность , нечётность, периодичность. Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

    Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

    Вычисление двойных и тройных интегралов

    Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область , и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

    Декартовы координаты.

    Установим теперь правило для вычисления    такого интеграла. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

    Вычислим тройной интеграл Цилиндрические координаты.

    Сферические координаты.

    Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара

    Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель  - плотность тела в точке P.

    Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1).

    Если m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справедливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

    Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

    Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями . В этом случае область D нужно разбить на две области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу.

    Двойной интеграл в полярных координатах Если область интегрирования D - круг или часть круга, то обычно двойной интеграл вычислить легче, если перейти к полярным координатам. Полярный полюс помещается в начало декартовых координат, полярная ось направлена вдоль оси Ох. Формулы перехода к полярным координатам: Двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида

    Приложения тройного интеграла С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить: объём области V по формуле массу m тела V переменной плотностью

    Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Тройной интеграл в декартовых координатах Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх однократных интегралов. При этом дифференциал  объёма равен произведению дифференциалов независимых переменных dv = dxdydz. Область интегрирования называется правильной, если прямая, проходящая через произвольную внутреннюю точку области интегрирования параллельно каждой оси координат пересекает границу области в двух точках. В правильной области можно выбрать любую последовательность интегрирования по переменным х, у, z. Вычисление начинается с построения рисунка области интегрирования по заданным уравнениям границ области. Выбрав первую переменную интегрирования, нужно построить проекцию области интегрирования на плоскость двух других переменных. Например, если первое интегрирование производится по переменной z, то будет нужна проекция области на плоскость хОу.

    Тройной интеграл в сферических координатах Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода . Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN. С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

    Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки.

    Физическая задача вычисления работы силы  при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N

    Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D: С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

    Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).

    Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

    Область интегрирования D задана уравнениями границ. По заданным уравнениям нужно нарисовать кривые или прямые линии, которые образуют замкнутую область D. Затем нужно выбрать порядок интегрирования и применить формулу (8) или (9), как это выполнено в примере 1. Достаточно выполнить интегрирование только по одной из двух формул.

    Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу

    Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси отсутствующей переменной.

    Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.

    Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид: РЕШЕНИЕ Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

    Функция нескольких переменных и ее частные производные Определение функции нескольких переменных

    Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

    Частные производные ФНП, заданной неявно

    Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.

    Касательная плоскость и нормаль к поверхности

    Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной

    Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

    Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

    Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

    Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

    Тройной интеграл Некоторые приложения тройных интегралов Если  – это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:

    Криволинейный интеграл II рода (по координатам) где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.

    Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

    Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

    Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

    Соленоидальное векторное поле Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

    Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0. Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

    Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,

    Задача 5. Поверхность  σ задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2. Решение. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции

    Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется: найти уравнения линий уровня поля; найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

    3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

    Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;

    Решение примерного варианта контрольной работы №2 Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

    Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

    Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

    Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

    Задача 6.  Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

    Математика , физика курсовая, информационные системы. Машиностроительное черчение